Question

9．如圖，BD為⊙O的直徑，點A是弧BC的中點，AD交BC于E點，AE=2，ED=4．
（1）求證：△ABE∽△ADB；
（2）求tan∠ADB的值；
（3）延長BC至F，連接FD，使△BDF的面積等于8$\sqrt{3}$，求∠F的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由于A是弧BC的中點，故∠ADB=∠ABC，再加上公共角∠A，即可證得所求的三角形相似．
（2）由（1）的相似三角形所得比例線段，可求得AB的長，進(jìn)而可在Rt△ABD中，求得∠ABD的正切值．
（3）連接CD，由（2）知∠ADB=30°，那么∠CDE=30°，∠CED=60°，由DE的長即可得到CD的值，進(jìn)而可由△BDF的面積求得BF的長，進(jìn)而可求得EF=ED=4，由此可證得△EDF是正三角形，即可得∠F的度數(shù)．

解答 （1）證明：∵點A是弧BC的中點，
∴∠ABC=∠ADB，
又∵∠BAE=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB；

（2）解：∵△ABE∽△ADB，
∴AB²=2×6=12，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ADB中，tan∠ADB=$\frac{2\sqrt{3}}{8}$；

（3）解：連接CD，則∠BCD=90°；
由（2）得：∠ADB=∠EDC=30°，∠CED=60°；
已知DE=4，則CD=2$\sqrt{3}$；
∵S_△BDF=$\frac{1}{2}$×BF×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，即BF=8；
易得∠EBD=∠EDB=30°，即BE=DE=4，
∴EF=DE=4，又∠CED=60°，
∴△DEF是正三角形，
故∠F=60°．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、圓心角、弧的關(guān)系、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．