Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E是⊙O上的點，H、K是直徑AB上的點，若∠AHC=∠DHB，∠DKA=∠EKB，$\widehat{AC}$的度數(shù)是20°，$\widehat{BE}$的度數(shù)是50°，則∠D=55°．

Answer 1

分析 如果將半圓O補全，得圓O．過點D作DF⊥AB于P，交⊙O于F，連接HF、FK．首先由垂徑定理，可得DP=FP，則AB是DF的垂直平分線，由線段的垂直平分線的性質(zhì)得出HD=HF，KD=KF，再由等腰三角形的性質(zhì)可得∠HDF=∠HFD，∠KDF=∠KFD．然后根據(jù)平角的定義證明C、H、F三點共線，E、K、F三點共線．從而∠HDK=∠CFE，最后由圓周角定理求出∠HDK的度數(shù)．

解答 解：將半圓O補全，得圓O．過點D作DF⊥AB于P，交⊙O于F，連接HF、FK．
∵DF⊥AB于P，AB是圓O的直徑，
∴DP=FP，
∴AB是DF的垂直平分線，
∴HD=HF，KD=KF，
∴∠HDF=∠HFD，∠KDF=∠KFD．
∵HD=HF，DP=FP，
∴∠FHB=∠DHB，
∵∠AHC=∠DHB，
∴∠FHB=∠AHC，
∴∠AHC+∠AHF=∠FHB+∠AHF=180°，
∴C、H、F三點共線．
同理，E、K、F三點共線．
∴∠HDK=∠HDF+∠KDF=∠HFD+∠KFD=∠CFE，
又∵弧AC為20°，弧BE為50°，
∴弧CE為180°-20°-50°=110°，
∴∠CFE=$\frac{1}{2}$×110°=55°，
∴∠HDK=55°．
故答案為：55°．

點評 本題主要考查了垂徑定理，線段垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理及三點共線的證明方法．綜合性強，有一定難度．