Question

14．已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的頂點P在AB上滑動，直角的兩邊分別交線段AC，BC于E．F兩點
（1）如圖1，當$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{3}$且PE⊥AC時，求證：$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{3}$；
（2）如圖2，當$\frac{AP}{PB}$=1時（1）的結(jié)論是否仍然成立？為什么？
（3）在（2）的條件下，將直角∠EPF繞點P旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠BPF=α（0°＜α＜90°）．連結(jié)EF，當△CEF的周長等于2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$時，請直接寫出α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，易證△AEP∽△PFB，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）連接CP，如圖2，易證△APE≌△CPF，從而得到PE=PF，故（1）的結(jié)論不成立；
（3）在（2）的條件下可得AE=CF，由此可得EC+CF=2，EF=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$，設(shè)CF=x，在Rt△CEF中運用勾股定理可求出CF的值．由于CF的值有兩個，需分以下兩種情況討論：①若CF=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，如圖3，過點P作PH⊥BC于H，先求出PH、FH，然后在Rt△PHF中運用三角函數(shù)可求出∠FPH的度數(shù)，由此可求出α的值；②若CF=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，如圖4，過點P作PG⊥AC于G，同理可求出∠APE度數(shù)，由此可求出α的值．

解答 解：（1）如圖1，

∵PE⊥AC，
∴∠AEP=∠PEC=90°．
又∵∠EPF=∠ACB=90°，
∴四邊形PECF為矩形，
∴∠PFC=90°，
∴∠PFB=90°，
∴∠AEP=∠PFB．
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB，
∴PF=BF，$\frac{PE}{BF}$=$\frac{AP}{PB}$，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{3}$；

（2）（1）的結(jié)論不成立，理由如下：
連接PC，如圖2．

∵$\frac{AP}{PB}$=1，
∴點P是AB的中點．
又∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴CP=AP=$\frac{1}{2}$AB．∠ACP=∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CP⊥AB，
∴∠APE+∠CPE=90°．
∵∠CPF+∠CPE=90°，
∴∠APE=∠CPF．
在△APE和△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠PCF=45°}\\{PA=PC}\\{∠APE=∠CPF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF，
∴AE=CF，PE=PF．
故（1）中的結(jié)論$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{3}$不成立；

（3）當△CEF的周長等于2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$時，α的度數(shù)為75°或15°．
提示：在（2）的條件下，可得AE=CF（已證），
∴EC+CF=EC+AE=AC=2．
∵EC+CF+EF=2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$，
∴EF=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$．
設(shè)CF=x，則有CE=2-x，
在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理可得x²+（2-x）²=（$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$）²，
整理得：3x²-6x+2=0，
解得：x₁=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．
①若CF=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，如圖3，

過點P作PH⊥BC于H，
易得PH=HB=CH=1，F(xiàn)H=1-$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△PHF中，tan∠FPH=$\frac{FH}{PH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠FPH=30°，
∴α=∠FPB=30+45°=75°；
②若CF=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，如圖4，

過點P作PG⊥AC于G，
同理可得：∠APE=75°，
∴α=∠FPB=180°-∠APE-∠EPF=15°．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理等知識，有一定的綜合性，得到EC+CF=2是解決第（3）小題的關(guān)鍵．