Question

6．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2a，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC，BC相切于點E，F(xiàn)，與AB分別交于點G，H，且EH的延長線和CB的延長線交于點D，則CD的長為（1+$\sqrt{2}$）a．

Answer 1

分析 連接OE、OF，由切線的性質結合結合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半徑為a，則BF=2a-a=a，再由切割線定理可得BF²=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性質即可求出BH=BD，最終由CD=BC+BD，即可求出答案．

解答 解：如圖，連接OE、OF，
∵由切線的性質可得OE=OF=⊙O的半徑，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴OECF是正方形，
∵由△ABC的面積可知$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AC×OE+$\frac{1}{2}$×BC×OF，
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$×2a=EC=CF，BF=BC-CF=a，GH=2OE=2a，
∵由切割線定理可得BF²=BH•BG，
∴a²=BH（BH+2a），
∴BH=（-1+$\sqrt{2}$）a或BH=（-1-$\sqrt{2}$）a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴$\frac{OE}{OH}$=$\frac{BD}{BH}$，
∴BH=BD，CD=BC+BD=2a+（-1+$\sqrt{2}$）a=（1+$\sqrt{2}$）a，
故答案為：（1+$\sqrt{2}$）a．

點評 本題主要考查了切線的性質，本題需仔細分析題意，結合圖形，利用相似三角形的性質及切線的性質即可解決問題．