Question

如圖，已知線段AB，P₁是AB的黃金分割點（AP₁＞BP₁），點O是AB的中點，P₂是P₁關于點O的對稱點．求證：P₁B是P₂B和P₁P₂的比例中項．

Answer 1

考點：黃金分割

專題：證明題

分析：設AB=2，根據(jù)黃金分割的定義得AP₁=

5 -1

2

AB=

5

-1，則P₁B=3-

5

，由點O是AB的中點得OB=1，所以OP₁=

5

-2，由于P₂是P₁關于點O的對稱點，則P₁P₂=2

5

-4，可計算出P₂B=

5

-1，然后同過計算得到P₁B²=14-6

5

，P₂B•P₁P₂=14-6

5

，即P₁B²=P₂B•P₁P₂，所以P₁B是P₂B和P₁P₂的比例中項．

解答：證明：設AB=2，
∵P₁是AB的黃金分割點（AP₁＞BP₁），
∴AP₁=

5 -1

2

×2=

5

-1，
∴P₁B=2-（

5

-1）=3-

5

，
∵點O是AB的中點，
∴OB=1，
∴OP₁=1-（3-

5

）=

5

-2，
∵P₂是P₁關于點O的對稱點，
∴P₁P₂=2（

5

-2）=2

5

-4，
∴P₂B=2

5

-4+3-

5

=

5

-1，
∵P₁B²=（3-

5

）²=14-6

5

，P₂B•P₁P₂=（

5

-1）（2

5

-4）=14-6

5

，
∴P₁B²=P₂B•P₁P₂，
∴P₁B是P₂B和P₁P₂的比例中項．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．