Question

5．當(dāng)m，n是正實數(shù)，且滿足m+n=mn時，就稱點P（m，$\frac{m}{n}$）為“友誼點”．已知點A（0，5）與點M都在直線y=-x+b上，點B，C是“友誼點”，且點B在線段AM上．
（1）點B的坐標(biāo)為（3，2）；
（2）若MC=$\sqrt{3}$，AM=4$\sqrt{2}$，則△MBC的面積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由m+n=mn變式為$\frac{m}{n}$=m-1，可知P（m，m-1），所以在直線y=x-1上，點A（0，5）在直線y=-x+b上，求得直線AM：y=-x+5，進(jìn)而求得B（3，2）；
（2）根據(jù)直線平行的性質(zhì)從而證得直線AM與直線y=x-1垂直，然后根據(jù)勾股定理求得BC的長，從而求得三角形的面積．

解答 解：（1）∵m+n=mn且m，n是正實數(shù)，
∴$\frac{m}{n}$+1=m，即$\frac{m}{n}$=m-1，
∴P（m，m-1），
即“友誼點”B在直線y=x-1上，
∵點A（0，5）在直線y=-x+b上，
∴b=5，
∴y=-x+5，
∵“友誼點”B在直線y=-x+5上，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴B（3，2）；
故答案為（3，2）．
（2）∵一、三象限的角平分線y=x垂直于二、四象限的角平分線y=-x，而直線y=x-1與直線y=x平行，直線y=-x+5與直線y=-x平行，
∴直線AM與直線y=x-1垂直，
∵點B是直線y=x-1與直線AM的交點，
∴垂足是點B，
∵點C是“友誼點”，
∴點C在直線y=x-1上，
∴△MBC是直角三角形，
∵B（3，2），A（0，5），
∴AB=3$\sqrt{2}$，
∵AM=4$\sqrt{2}$，
∴BM=$\sqrt{2}$，
又∵CM=$\sqrt{3}$，
∴BC=1，
∴S_△MBC=$\frac{1}{2}$BM•BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積的計算等，判斷直線垂直，借助正比例函數(shù)是本題的關(guān)鍵．