Question

6．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ABC=90°，D是AC的中點，且AE=$\frac{1}{2}$BD，求證：BE是∠ABC的角平分線．

Answer 1

分析 延長AE、BC交于點F．根據(jù)同角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；在△BCD和△ACF中，根據(jù)ASA證明全等，得AF=BD，從而AE=EF，根據(jù)線段垂直平分線的性質，得AB=BF，再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可證明．

解答 證明：延長AE、BC交于點F；如圖所示：
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BCD}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠FAC=∠DBC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=$\frac{1}{2}$BD，
∴AE=EF，即點E是AF的中點．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分線．

點評 此題綜合運用了全等三角形的判定以及性質、線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的判定與性質；熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．