Question

6．如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，AD上的兩點(diǎn)，且BE=DF，連AE，BF，DE，CF分別交于點(diǎn)G，H．
（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形．
（2）若E，F(xiàn)分別是BC，AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BE=DF=x，試推斷當(dāng)x等于多少時(shí)，四邊形GEHF是矩形．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，證明四邊形FBED是平行四邊形，得出BF∥ED，同理：四邊形AECF是平行四邊形，得出AE∥FC，即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠BAD=120°，證明△ABE是等邊三角形，得出BE=DF=AB=2，證出AB=AF，得出∠ABG=∠AFG=30°，證出∠EGF=90°，即可得出四邊形GEHF是矩形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴BE∥DF，
∵BE=DF，
∴四邊形FBED是平行四邊形，
∴BF∥ED，即GF∥EH，
同理：四邊形AECF是平行四邊形，
∴AE∥FC，
即GE∥FH，
∴四邊形GEHF是平行四邊形；
（2）解：當(dāng)AE平分∠BAD，CF平分∠BCD時(shí)，BE=DF=2，四邊形GEHF是矩形；理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠ABC=∠BAC=∠AEB=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴BE=DF=AB=2，
∴AF=CE=BC-BE=4-2=2，
∴AB=AF，
∴∠ABG=∠AFG=30°，
∴∠AGB=90°，
∴∠EGF=90°，
∴四邊形GEHF是矩形；
即當(dāng)x=2時(shí)，四邊形GEHF是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．