Question

12．△ABC中，∠ACB=90°，AC=8．
（1）如圖1，若AC=BC，∠MCN=45°，交BA及延長線分別于N、M，若AM=2$\sqrt{2}$，求MN的值；
（2）如圖2，將△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度到△DEC，直線AD、EB交于P點(diǎn)，Q是BC中點(diǎn)，連PQ，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BC=6時，求：①∠BPA的度數(shù)；②PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）作AF⊥AB，使AF=BE，連接DF，根據(jù)SAS證得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代換即可解答．
（2）①設(shè)∠BCE=∠ACD=α，可得∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得∠BPA=90°；
②取AB的中點(diǎn)K，連接PK、QK，則KQ=$\frac{1}{2}$AC=4，PK=AB=5，繼而可得PQ≤KP+KQ=9．

解答 解：（1）如圖，

證明：過點(diǎn)A作AF⊥AB，使AF=BN，連接MF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBN（SAS），
∴CF=CN，
∠ACF=∠BCN，
∵∠BCN+∠ACN=90°，
∴∠ACF+∠ACN=90°，即∠FCN=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
又∵CM=CM，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴MF=MN，
∵AM²+AF²=MF²，
∴AM²+BN²=MN²．
在Rt△ABC中，AC=BC=8，∴AB=8$\sqrt{2}$，
∴BN=AB-AN=AB-（MN-AM）=8$\sqrt{2}$-MN+2$\sqrt{2}$=10$\sqrt{2}$-MN，∴（2$\sqrt{2}$）²+（10$\sqrt{2}$-MN）²=MN²，
∴MN=5.7$\sqrt{2}$．

（2）解：①∵△DEC是由△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，
∴CE=CB，CD=CA，∠BCE=∠ACD，
設(shè)∠BCE=∠ACD=α∴∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴在四邊形BCDP中，∠BPA=360°-90°-α-2（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°；

②∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
如圖1，取AB的中點(diǎn)K，連接PK、QK，
則KQ=$\frac{1}{2}$AC=4，PK=AB=5，
∴PQ≤KP+KQ=9，
∴PQ的最大值是9．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理及三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及中位線定理，解（1）的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形△CAF≌△CBN，構(gòu)建以PQ為邊的三角形，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出PQ的長度范圍是解（2）的關(guān)鍵．