Question

17．已知：如圖，第一象限內(nèi)的點A，B在反比例函數(shù)的圖象上，點C在y軸上，BC∥x軸，點A的坐標(biāo)為（2，4），且cot∠ACB=$\frac{2}{3}$
求：（1）反比例函數(shù)的解析式；
（2）點C的坐標(biāo)；
（3）∠ABC的余弦值．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）作AE⊥x軸于點E，AE與BC交于點F，則CF=2，根據(jù)cot∠ACB=$\frac{2}{3}$=$\frac{CF}{AF}$得AF=3，即可知EF，從而得出答案；
（3）先求出點B的坐標(biāo)．繼而由勾股定理得出AB的長，最后由三角函數(shù)可得答案．

解答 解：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，
將點A（2，4）代入，得：k=8，
∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{8}{x}$；

（2）過點A作AE⊥x軸于點E，AE與BC交于點F，則CF=2，

∵cot∠ACB=$\frac{2}{3}$=$\frac{CF}{AF}$，
∴AF=3，
∴EF=1，
∴點C的坐標(biāo)為（0，1）；

（3）當(dāng)y=1時，由1=$\frac{8}{x}$可得x=8，
∴點B的坐標(biāo)為（1，8），
∴BF=BC-CF=6，
∴AB=$\sqrt{B{F}^{2}+A{F}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴cos∠ABC=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．