Question

20．已知，在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．
（1）求四邊形AQMP的周長；
（2）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形？說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到對應(yīng)角相等對應(yīng)邊相等，從而不難求得其周長；
（2）根據(jù)中位線的性質(zhì)及菱形的判定不難求得四邊形AQMP為菱形．

解答 解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，
∴四邊形APMQ是平行四邊形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠PMC=∠QMB．
∴BQ=QM，PM=PC．
∴四邊形AQMP的周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a；

（2）當點M在BC的中點時，四邊形APMQ是菱形，
∵AB∥MP，點M是BC的中點，
∴$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CP}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴P是AC的中點，
∴PM是三角形ABC的中位線，
同理：QM是三角形ABC的中位線．
∵AB=AC，
∴QM=PM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC．
又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形，
∴平行四邊形APMQ是菱形．

點評 此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，菱形的判定等知識點的綜合運用．