Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)B、點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，BD交y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）．
（1）求直線BD的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BD方向以

5

個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PN⊥OA，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，線段MN的長(zhǎng)度為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在∠APO與∠AMB相等？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得AD的長(zhǎng)，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）分類討論：0＜0＜

3

2

，

3

2

≤t≤

5

2

，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得

AP

AO

=

AM

AP

，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得一元二次方程，根據(jù)解一元二次方程，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得BP的長(zhǎng)，根據(jù)路程與速度的關(guān)系，可得答案．

解答：解：（1）由勾股定理，得
AB=

AO2+BO2

=

42+(-3)2

=5．
由菱形的性質(zhì)，得
AD=AB=5，D （5，4）．
設(shè)BD的解析式是y=kx+b，函數(shù)圖象經(jīng)過B、D點(diǎn)，得

-3k+b=0 5k+5=4

，
解得

k= 1 2 b= 3 2

．
故直線BD的解析式是y=

1

2

x+

3

2

；
（2）如圖1：
，
當(dāng)x=0時(shí)，y=

3

2

，P（0，

3

2

），
BP=

5

t，BM=

BO2+OM2

=

3 5

2

，
PM=BM-BP=

3 5 -2 5 t

2

．
△MPN∽△MBO，

PM

BM

=

MN

MO

，
即

3 5 -2 5 t 2

3 5 2

=

y

3 2

，
化簡(jiǎn)，得y=-t+

3

2

  （0＜t＜

3

2

）；
如圖2：
，
PM=

5

t-

3 5

2

，AM=4-

3

2

=

5

2

，MD=

AM2+AD2

=

5 5

2

．
△MPN∽△MAD，

PM

MD

=

MN

AM

，
即

5 t- 3 5 2

5 5 2

=

y

5 2

，
化簡(jiǎn)，得
y=t-

3

2

  （

3

2

＜t＜

5

2

），
綜上所述：y=

-t+ 3 2 (0＜t＜ 3 2 ) t- 3 2 ( 3 2 ＜t＜ 5 2 )

（3）存在∠APO與∠AMB相等．
如圖3：
，
由（2）知AM=

5

2

，
∠APO=∠AMB，∠PAO=∠MAP，
△APO∽△AMP，

AP

AM

=

AO

AP

，
AP²=AM•AO，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（a，

1

2

a+

3

2

），
AP²=a²+（

1

2

a+

3

2

-4）²=

5

2

×4，
解得a₁=3（不符合題意的要舍去），a₂=-1，
P（-1，1），
BP=

(-1+3)2+12

=

5

．
t=

5

5

=1（秒），
故存在∠APO=∠AMB時(shí)，t=1秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式；（2）利用了相似三角形的性質(zhì)；（3）利用了相似三角形的性質(zhì)，路程與速度的關(guān)系．