Question

3．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x與x軸交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)C為第四象限的拋物線上一點(diǎn)，且OC⊥AC，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 可先求得A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，可證明△ODC∽△CDA，可得到關(guān)于x、y的方程，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：在y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x中，令y=0可得0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x，解得x=0或x=5，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），
∴OA=5，
如圖，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
∵C在第四象限，
∴y＜0，
∴OD=x，CD=-y，AD=5-x，
∵OC⊥AC，
∴∠COD+∠OCD=∠OCD+∠DCA=90°，
∴∠DOC=∠DCA，
∴△ODC∽△CDA，
∴CD²=OD•DA，即y²=x（5-x），
∵C在拋物線上，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x，
∴（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x）²=x（5-x），
解得x=1或x=4，此時(shí)y=-2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）或（4，-2）．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)及相似三角形的判定和性質(zhì)，利用三角形相似找到C點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．