Question

9．已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在⊙O上．
（1）當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系，并證明你的判斷；
（2）當(dāng)P、C都在AB上方時（如圖2），過C點作CD⊥直線AP于D，且PC=2PD，證明：CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠1=∠2，加上∠A=∠1，則∠A=∠2，再根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠3，所以∠2=∠3，于是可根據(jù)平行線的判定方法判斷PO∥BC；
（2）如圖2，根據(jù)直角三角形三邊的關(guān)系，先由PC=2PD得到∠1=30°，∠2=60°，再利用折疊的性質(zhì)得∠3=∠4，則利用平角的定義可計算出∠3=60°，從而判斷△OPC為等邊三角形，得到∠5=60°，所以∠OCD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得CD是⊙O的切線．

解答 （1）解：PO∥BC．理由如下：如圖1，
∵△AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在⊙O上，
∴∠1=∠2，
又∵OA=OP，
∴∠A=∠1，
∴∠A=∠2，
∵∠A=∠3，
∴∠2=∠3，
∴PO∥BC；
（2）證明：如圖2，
∵CD⊥直線AP，
∴∠PDC=90°
∵PC=2PD，
∴∠1=30°，
∴∠2=60°，
∵△AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在⊙O上，
∴∠3=∠4，
∴∠3=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
而OP=OC，
∴△OPC為等邊三角形，
∴∠5=60°，
∴∠OCD=∠1+∠5=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了折疊的性質(zhì)、圓周角定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)．