Question

2．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于一、三象限內(nèi)的A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，OC=1，BC=5，cos∠BCO=$\frac{4}{5}$．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）在y軸上有一點E（O點除外），使得△BDE與△BDO的面積相等，求出點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥x軸于D，如圖，先利用解直角三角形確定A（-3，-3），再把A點坐標(biāo)代入代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）可求得k=9，則可得到反比例函數(shù)解析式；然后把A和C點坐標(biāo)分別代入y=ax+b得到關(guān)于a、b的方程組，再解方程組求出a和b的值，從而可確定一次函數(shù)解析式；
（2）因為一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與y軸交于D點，所以求得D（0，-$\frac{3}{4}$），再因為S_△BDE=S_△BDO，所以DE=OD=$\frac{3}{4}$，即可得出OE=$\frac{3}{2}$，則E（0，-$\frac{3}{2}$）．

解答 解：（1）作BD⊥x軸于D，如圖，
在Rt△CBD中，cos∠BCO=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{4}{5}$，
∵BC=5，OC=1，
∴CD=4，BD=3，
∴A（-3，-3），
把A（-3，3）代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）得K=-3×（-3）=9，
所以反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{9}{x}$；
∵OC=1，
∴C（1，0），
把B（-3，-3）、C（1，0）分別代入y=ax+b得$\left\{\begin{array}{l}{-3a+b=-3}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
所以一次函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$；
（2）∵一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與y軸交于D點，
∴當(dāng)x=0時，x=-$\frac{3}{4}$，
∴D（0，-$\frac{3}{4}$），即OD=$\frac{3}{4}$，
∵S_△BDE=S_△BDO，
∴DE=OD=$\frac{3}{4}$，
∴OE=$\frac{3}{2}$，即E（0，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了觀察函數(shù)圖象的能力．