Question

11．已知關(guān)于x的方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0．
（1）求證：無論m取什么數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若已知方程有一個實數(shù)根是2，試求出另一個實數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=（m-1）²≥0，由此即可證出無論m取什么數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）將x=2代入原方程可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，設(shè)方程的另一根為x₀，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出關(guān)于x₀的一元一次方程，解之即可得出方程的另一個實數(shù)根．

解答 （1）證明：∵在方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0中，△=（-m）²-4×1×（$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$）=m²-2m+1=（m-1）²≥0，
∴無論m取什么數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：將x=2代入原方程得：4-2m+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0，
解得：m=$\frac{5}{2}$．
設(shè)方程的另一根為x₀，
則有：2+x₀=m=$\frac{5}{2}$，
∴x₀=$\frac{1}{2}$．
∴若已知方程有一個實數(shù)根是2，則另一個實數(shù)根為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)根的判別式找出△=（m-1）²≥0；（2）將x=2代入原方程求出m的值．