Question

4．探究：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，過(guò)點(diǎn)B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E，作DF⊥BC交AB于點(diǎn)F，求證：AD=DE．
應(yīng)用：如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，過(guò)點(diǎn)B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E，作DF⊥BC交AB于點(diǎn)F，直接寫出線段DE與AD的數(shù)量關(guān)系，不用證明．

Answer 1

分析 （1）首先證得∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；
（2）首先過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，交AB于點(diǎn)G，進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案；

解答 （1）證明：如圖1，則有∠BDE+∠FDE=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠C=45°，
∵M(jìn)N∥AC，
∴∠EBD=180°-∠C=135°，
∵∠BFD=45°，DF⊥BC，
∴∠BFD=45°，BD=DF，
∴∠AFD=135°，
∴∠EBD=∠AFD，
在△BDE和△FDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠AFD}\\{BD=DF}\\{∠BDE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FDA（ASA），
∴AD=DE；

（2）解：DE=$\sqrt{3}$AD，
理由：如圖2，則有∠BDE+∠FDE=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴∠C=60°，
∵M(jìn)N∥AC，
∴∠EBD=180°-∠C=120°，
∵∠ABC=30°，DF⊥BC，
∴∠BFD=60°，
∴∠AFD=120°，
∴∠EBD=∠AFD，
∴△BDE∽△FDA
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DF}{BD}$，
在Rt△BDF中，
$\frac{DF}{BD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DE=$\sqrt{3}$AD．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△EBD∽△AFD是解題關(guān)鍵．