Question

14．已知二次函數(shù)y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）
（1）當k=$\frac{1}{2}$時，求這個二次函數(shù)的頂點坐標；
（2）求證：關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0有兩個不相等的實數(shù)根；
（3）如圖，該二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側），與y軸交于C點，P是y軸負半軸上一點，且OP=1，直線AP交BC于點Q，求證：$\frac{1}{{O{A^2}}}+\frac{1}{{A{B^2}}}=\frac{1}{{A{Q^2}}}$．

Answer 1

分析 （1）直接將k的值代入函數(shù)解析式，進而利用配方法求出頂點坐標；
（2）利用根的判別式得出△=1，進而得出答案；
（3）根據(jù)題意首先表示出Q點坐標，以及表示出OA，AB的長，再利用兩點之間距離求出AQ的長，進而求出答案．

解答 解：（1）將k=$\frac{1}{2}$代入二次函數(shù)可求得，
y=x²-2x+$\frac{3}{4}$
=（x-1）²-$\frac{1}{4}$，
故拋物線的頂點坐標為：（1，-$\frac{1}{4}$）；

（2）∵一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0，
∴△=b²-4ac=[-（2k+1）]²-4（k²+k）=1＞0，
∴關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0有兩個不相等的實數(shù)根；

（3）由題意可得：點P的坐標為（0，-1），
則0=x²-（2k+1）x+k²+k
0=（x-k-1）（x-k），
故A（k，0），B（k+1，0），
當x=0，則y=k²+k，
故C（0，k²+k）
則AB=k+1-k=1，OA=k，
可得
${y_{PA}}=\frac{1}{k}x-1$，
y_BC=-kx+k²+k，
當$\frac{1}{k}$x-1=-kx+k²+k，
解得：x=k+$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
則代入原式可得：y=$\frac{k}{{k}^{2}+1}$，
則點Q坐標為$（k+\frac{k^2}{{{k^2}+1}}，\frac{k}{{{k^2}+1}}）$
運用距離公式得：AQ²=（$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$）²+（$\frac{k}{{k}^{2}+1}$）²=$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
則OA²=k²，AB²=1，
故$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{A{B}^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}}$+1=$\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}}$=$\frac{1}{A{Q}^{2}}$，
則$\frac{1}{{O{A^2}}}+\frac{1}{{A{B^2}}}=\frac{1}{{A{Q^2}}}$．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及根的判別式和配方法求二次函數(shù)頂點坐標和兩點之間距離求法等知識，正確表示出Q點坐標是解題關鍵．