Question

7．如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），點C為拋物線上一點，且點C的橫坐標為2，拋物線的對稱軸EF交x軸于點E，交直線AC于點F．
（1）求點A、B 的坐標和直線AC的解析式；
（2）若G是y軸上一個動點，當∠AGC=90°時，求點G的坐標；
（3）在直線EF上是否存在點P，使⊙P與直線AC和y軸都相切，若存在，求出圓心P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把y=0代入拋物線y=x²-2x-3可求得點A、B 的坐標，把x=2代入拋物線中可求得點C的坐標，利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；
（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角畫出∠AGC=90°，確定點G的位置，有兩個符合條件的G點，作輔助線，構建直角三角形，先根據(jù)坐標特點及中點定義得出D的坐標，計算AC的長，則半徑為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，根據(jù)勾股定理計算G₁H的長，利用坐標證明△AOM和△DMH是等腰直角三角形，從而得出點G的坐標；
（3）存在兩個P點，根據(jù)切線長定理可知，①∠OMC的平分線與EF的交點為P，②∠GMC的平分線與EF的交點為P；作輔助線，構建直角三角形，根據(jù)拋物線的對稱軸為x=1可知，P的橫坐標為1，分別根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質求縱坐標即可．

解答 解：（1）當y=0時，x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x₁=3，x₂=-1，
∵A點在B點左側，
∴A（-1，0），B（3，0），
當x=2時，y=x²-2x-3=-3，
∴C（2，-3），
設直線AC的解析式為：y=kx+b，
把A（-1，0），C（2，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=-x-1；
（2）取AC的中點D，以D為圓心，以AD為半徑作圓交y軸于G₁、G₂，
連接DG₁，DG₂，過D作DH⊥y軸于H，
此時∠AG₁C=∠AG₂C=90°，
∵A（-1，0），C（2，-3），
∴D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），AC=$\sqrt{（2+1）^{2}+（0+3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴AD=DG₁=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∵DH=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：G₁H=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
設直線AC交y軸于M，
當x=0時，y=-1，
∴OM=1，
∵OA=1，
∴OA=OM，
∴△AOM是等腰直角三角形，
∴∠AMO=∠DMH=45°，
∴△DMH是等腰直角三角形，
∴DH=HM=$\frac{1}{2}$，
∴OG₁=G₁H-OH=$\frac{\sqrt{19}}{2}$-1-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{19}-3}{2}$，
OG₂=$\frac{\sqrt{19}}{2}$+1+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{19}+3}{2}$，
∴點G的坐標是（0，$\frac{\sqrt{19}-3}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{19}+3}{2}$）；
（3）存在，
如圖2，⊙P與y軸、AC都相切，切點分別為G、H，連接PG、PH，則PG⊥y軸，PH⊥AC，過H作NQ⊥y軸，則NQ⊥EF
∴△NMH是等腰直角三角形，
∵∠MHP=90°，
∴∠PHQ=45°，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∵PG=PH=1，
∴PQ=HQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴HN=NM=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵GN=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴GM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
∴OG=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，
∴P（1，$\sqrt{2}$-2）；
如圖3，切點為G、H，連接PG、PH，則PG⊥y軸，PH⊥AC，
過H作NQ∥y軸，交GP的延長線于N，過M作MQ⊥y軸，則四邊形MGNQ是矩形，
∵PG=PH=1，∠GMH=45°，
連接PM，則PM平分∠GMH，
∴∠GMP=∠PMH=22.5°，
∴∠HMQ=45°，
∴△MQH是等腰直角三角形，
∵∠GPM=∠MPH=67.5°，
∴∠NPH=45°，
∴△PNH是等腰直角三角形，
∴PN=NC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MQ=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MG=QN=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$+1，
∴OG=OM+MG=1+$\sqrt{2}$+1=2+$\sqrt{2}$，
∴P（1，-2-$\sqrt{2}$），
綜上所述，圓心P的坐標是（1，$\sqrt{2}$-2）或（1，-2-$\sqrt{2}$）．

點評 本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、拋物線與x軸的交點、圓周角定理、切線長定理等知識，有難度，注意2、3問要分類討論，不要丟解，熟練掌握：①直徑所對的圓周角是直角；②從圓外一點引圓的切線，切線長相等，它與圓心的連線平分切線所在的夾角；本題的關鍵是確定點G和P的位置．