Question

8．如圖，∠OPA=$\frac{1}{2}$∠APB，⊙O與PA相切于點C．
（1）求證：直線PB與⊙O相切．
（2）PO的延長線與⊙O相交于點E，若⊙O的半徑為3，PC=4，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，作OD⊥PB于D點．證明OD=OC即可．根據(jù)角的平分線性質(zhì)易證；
（2）設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．根據(jù)勾股定理得PO=5，則PE=8．證明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根據(jù)勾股定理求解CE．

解答 （1）證明：連接OC，作OD⊥PB于D點．
∵⊙O與PA相切于點C，
∴OC⊥PA，
∵∠OPA=$\frac{1}{2}$∠APB，
∴點O在∠APB的平分線上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD=OC．
∴直線PB與⊙O相切；

（2）解：設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．
∵OC=3，PC=4，
∴PO=5，PE=8．
∵⊙O與PA相切于點C，
∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直徑，
∴∠ECF=90°．
設(shè)CF=x，則EC=2x．
則x²+（2x）²=6²，
解得x=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴CE=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點評 此題考查了切線的判定、相似三角形的性質(zhì)．注意：當(dāng)不知道直線與圓是否有公共點而要證明直線是圓的切線時，可通過證明圓心到直線的距離等于圓的半徑，來解決問題．