Question

7．已知實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）滿足方程（x-2）²+y²=3，記$\frac{y}{x}$的最小值，最大值分別為a，b，則a²+b²=6．

Answer 1

分析 設(shè)$\frac{y}{x}$=t，則y=tx，則得到關(guān)于x的一元二次方程（1+t²）x²-4x+1=0，利用判別式的意義得到t²≤3，解得-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$，于是得到a=-$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，然后計(jì)算a²+b²的值．

解答 解：設(shè)$\frac{y}{x}$=t，則y=tx，
∵（x-2）²+y²=3，
∴x²-4x+4+t²x²=3，
即（1+t²）x²-4x+1=0，
△=16-4（1+t²）≥0，
化簡(jiǎn)得t²≤3，
∴-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$，
∴a=-$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴a²+b²=3+3=6．
故答案為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．