Question

18．如圖，已知點(diǎn)A（-8，0），B（2，0），點(diǎn)C在直線y=-$\frac{3}{4}x+4$上，則使△ABC是直角三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)∠A為直角，∠B為直角與∠C為直角三種情況進(jìn)行分析．

解答 解：如圖，

①當(dāng)∠A為直角時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作垂線與直線的交點(diǎn)W（-8，10），
②當(dāng)∠B為直角時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作垂線與直線的交點(diǎn)S（2，2.5），
③若∠C為直角
則點(diǎn)C在以線段AB為直徑、AB中點(diǎn)E（-3，0）為圓心、5為半徑的圓與直線y=-$\frac{3}{4}x+4$的交點(diǎn)上．
在直線y=-$\frac{3}{4}x+4$中，當(dāng)x=0時(shí)y=4，即Q（0，4），
當(dāng)y=0時(shí)x=$\frac{16}{3}$，即點(diǎn)P（$\frac{16}{3}$，0），
則PQ=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{16}{3}）^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
過(guò)AB中點(diǎn)E（-3，0），作EF⊥直線l于點(diǎn)F，
則∠EFP=∠QOP=90°，
∵∠EPF=∠QPO，
∴△EFP∽△QOP，
∴$\frac{EF}{QO}$=$\frac{PE}{PQ}$，即$\frac{EF}{4}$=$\frac{3+\frac{16}{3}}{\frac{20}{3}}$，
解得：EF=5，
∴以線段AB為直徑、E（-3，0）為圓心的圓與直線y=-$\frac{3}{4}x+4$恰好有一個(gè)交點(diǎn)．
所以直線y=-$\frac{3}{4}x+4$上有一點(diǎn)C滿足∠C=90°．
綜上所述，使△ABC是直角三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為3，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，在解答此題時(shí)要分三種情況進(jìn)行討論，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理判斷∠C為直角的情況是否存在．