Question

3．我們知道：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧；平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦．你可以利用這一結論解決問題：
如圖，點P在以MN（南北方向）為直徑的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于點Q，垂足為H，PQ≠MN，弦PC、PD分別交MN于點E、F，且PE=PF．
（1）比較$\widehat{CQ}$與$\widehat{DQ}$的大��；
（2）若OH=2$\sqrt{2}$，求證：OP∥CD；
（3）設直線MN、CD相交所成的銳角為α，試確定cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，點P的位置．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質，由PE=PF，PH⊥EF可判斷PH平分∠FPE，然后根據圓周角定理得到$\widehat{CQ}$=$\widehat{DQ}$；
（2）連結CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如圖，先計算出PH=2$\sqrt{2}$，則可判斷△OPH為等腰直角三角形得到∠OPQ=45°，再判斷△OPQ為等腰直角三角形得到∠POQ=90°，然后根據垂徑的推理由$\widehat{CQ}$=$\widehat{DQ}$得到OQ⊥CD，
則根據平行線的判定方法得OP∥CD；
（3）直線CD交MN于A，如圖，由特殊角的三角函數值得∠α=30°，即直線MN、CD相交所成的銳角為30°，利用OB⊥CD得到∠AOB=60°，則∠POH=60°，然后在Rt△POH中利用正弦的定義計算出PH即可．

解答 （1）解：∵PE=PF，PH⊥EF，
∴PH平分∠FPE，
∴∠DPQ=∠CPQ，
∴$\widehat{CQ}$=$\widehat{DQ}$；
（2）證明：連結CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如圖，
∵OH=2$\sqrt{2}$，OP=4，
∴PH=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴△OPH為等腰直角三角形，
∴∠OPQ=45°，
而OP=OQ，
∴△OPQ為等腰直角三角形，
∴∠POQ=90°，
∴OP⊥OQ，
∵$\widehat{CQ}$=$\widehat{DQ}$，
∴OQ⊥CD，
∴OP∥CD；
（3）解：直線CD交MN于A，如圖，
∵cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠α=30°，即直線MN、CD相交所成的銳角為30°，
而OB⊥CD，
∴∠AOB=60°，
∵OH⊥PQ，
∴∠POH=60°，
在Rt△POH中，∵sin∠POH=$\frac{PH}{OP}$，
∴PH=4sin60°=2$\sqrt{3}$，
即點P到MN的距離為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推理、圓周角定理；能夠靈活應用等腰直角三角形的性質和三角函數進行幾何計算．