Question

5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高為4，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒
（1）直接寫出梯形ABCD的中位線長(zhǎng)；
（2）當(dāng)MN∥AB時(shí)，求t的值；
（3）試探究：t為何值時(shí)，使得MC=MN．

Answer 1

分析 （1）直接利用梯形中位線的定理求出即可；
（2）平移梯形的一腰，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解；
（3）利用MC=MN時(shí)，結(jié)合路程=速度×?xí)r間求得其中的有關(guān)的邊，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)求解．

解答 解：（1）∵AD=3，BC=10，
∴梯形ABCD的中位線長(zhǎng)為：（3+10）÷2=6.5；

（2）如圖1，過D作DG∥AB交BC于G點(diǎn)，則四邊形ADGB是平行四邊形．
∵M(jìn)N∥AB，
∴MN∥DG，
∴BG=AD=3．
∴GC=10-3=7．
由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，CN=t，CM=10-2t．
∵DG∥MN，
∴△MNC∽△GDC．
∴$\frac{CN}{CD}$=$\frac{CM}{CG}$，
即$\frac{t}{5}$=$\frac{10-2t}{7}$．
解得，t=$\frac{50}{17}$；

（3）當(dāng)MC=MN時(shí)，如圖2，過M作MF⊥CN于F點(diǎn)，F(xiàn)C=$\frac{1}{2}$NC=$\frac{1}{2}$t．
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC∽△DHC，
∴$\frac{FC}{HC}$=$\frac{MC}{DC}$，
即$\frac{\frac{1}{2}t}{3}$=$\frac{10-2t}{5}$，
解得：t=$\frac{60}{17}$．
綜上所述，t=$\frac{60}{17}$時(shí)，MC=MN．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)等知識(shí)，注意梯形中常見的輔助線：平移一腰、作兩條高．此題的知識(shí)綜合性較強(qiáng)，能夠從中發(fā)現(xiàn)平行四邊形、等腰三角形等，根據(jù)它們的性質(zhì)求解．