Question

6．如果關(guān)于x的一元二次方程x²+2（k+3）x+k²+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β，那么（α-1）²+（β-1）²的最小值是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=-2（k+3），αβ=k²+3，結(jié)合根的判別式得到k的取值范圍，所以將其代入所求的代數(shù)式得到：（α-1）²+（β-1）²=（α+β）²-2（α+β）-2αβ+2=2（k+7）²-48，根據(jù)二次函數(shù)在定義域內(nèi)的最值的求法進(jìn)行解答．

解答 解：∵x²+2（k+3）x+k²+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β，
∴α+β=-2（k+3），αβ=k²+3，△=4（k+3）²-4（k²+3）≥0，
解得k≥-1．
∴（α-1）²+（β-1）²
=α²-2α+1+β²-2β+1，
=（α+β）²-2（α+β）-2αβ+2，
=4（k+3）²+4（k+3）-2（k²+3）+2，
=2k²+28k+44，
=2（k+7）²-54，
當(dāng)k=-1時(shí)，（α-1）²+（β-1）²的最小值是：2（-1+7）²-54=18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的最值．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．