Question

12．如圖所示，平行四邊形ABCD中，∠B=60°，將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，且60°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合，角的兩邊所在的兩直線分別交線段AB、AD于點(diǎn)E、F（不包括線段的端點(diǎn)）．
（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若平行四邊形ABCD為菱形，
試猜想線段AE、AF、AC之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)E+AF=AC，請(qǐng)證明你的猜想．
（2）類比探究：
如圖2，若AB：AD=1：2，過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，求AE：FH的比值；
（3）拓展延伸：
如圖3，若AB：AD=1：4，請(qǐng)直接寫出（AE+4AF）：AC的比值為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）①先證明△ABC，△ACD都是等邊三角形，再證明∠BCE=∠ACF即可解決問題．②根據(jù)①的結(jié)論得到BE=AF，由此即可證明．
（2）設(shè)DH=x，由題意，CD=2x，CH=$\sqrt{3}$x，由△ACE∽△HCF，得$\frac{AE}{FH}=\frac{AC}{CH}$由此即可證明．
（3）如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點(diǎn)H．先證明△CFN∽△CEM，得出$\frac{CN}{CM}=\frac{FN}{EM}$，由AB•CM=AD•CN，AD：AD=1：4，推出CM=4CN，得出$\frac{CN}{CM}=\frac{FN}{EM}$=$\frac{1}{4}$，設(shè)CN=a，F(xiàn)N=b，則CM=4a，EM=4b，再求出AC，AE+4AF，即可解決問題．

解答 解；（1）AE+AF=AC，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，
∴∠D=∠B=60°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，
∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，
∵∠ECF=60°，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CAF}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\\{∠BCE=∠ACF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF（ASA）．
∴BE=AF，
∴AE+AF=AE+BE=AB=AC；
故答案為：AE+AF=AC．

（2）設(shè)DH=x，由題意，CD=2x，CH=$\sqrt{3}$x，
∴AD=2AB=4x，
∴AH=AD-DH=3x，
∵CH⊥AD，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴AC²+CD²=AD²，
∴∠ACD=90°，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACH=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠HCF=∠ACE，
∴△ACE∽△HCF，
∴AE：FH=AC：CH=2：1．

（3）如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點(diǎn)H．
∵∠ECF+∠EAF=180°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∵∠AFC+∠CFN=180°，
∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，
∴△CFN∽△CEM，
∴$\frac{CN}{CM}=\frac{FN}{EM}$，
∵AB•CM=AD•CN，AB：AD=1：4，
∴CM=4CN，
∴$\frac{CN}{CM}=\frac{FN}{EM}$=$\frac{1}{4}$，
設(shè)CN=a，F(xiàn)N=b，則CM=4a，EM=4b，
∵∠MAH=60°，∠M=90°，
∴∠AHM=∠CHN=30°，
∴HC=2a，HM=2a，HN=$\sqrt{3}$a，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$HM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，AH=2AM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$a，
AE+4AF=（EM-AM）+4（AH+HN-FN）=EM-AM+4AH+4HN-4FN=4AH+4HN-AM=$\frac{26\sqrt{3}}{3}$a，
∴$\frac{AE+4AF}{AC}$=$\frac{\frac{26\sqrt{3}}{3}a}{\frac{2\sqrt{39}}{3}a}$=$\sqrt{13}$；
故答案為：$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何變換綜合題．全等三角形的判定和性質(zhì)．相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．