Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F、C是⊙O上兩點(diǎn)，且$\widehat{AF}$=$\widehat{FC}$=$\widehat{CB}$，連接AC、AF，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AF，交AF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，垂足為D，若CD=2$\sqrt{3}$，則⊙O的半徑為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 連結(jié)BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圓得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理求得AB，進(jìn)而求得⊙O的半徑．

解答 解：連結(jié)BC，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵$\widehat{AF}$=$\widehat{FC}$=$\widehat{CB}$，
∴∠BOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2CD=4$\sqrt{3}$，
在Rt△ACB中，BC²+AC²=AB²，
即（4$\sqrt{3}$）²+（$\frac{1}{2}$AB）²=AB²，
∴AB=8，
∴⊙O的半徑為4．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．