Question

6．已知關(guān)于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0．
（1）求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)x₁，x₂為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2m+1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）要證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即證明△＞0即可，∵△=（m+2）²-4×1×（2m-1）=（m-2）²+4，因?yàn)閙²≥0，可以得到△＞0；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，x₁+x₂=m+2，x₁x₂=2m-1，代入$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2m+1，求得m即可．

解答 （1）證明：∵△=（m+2）²-4×1×（2m-1）
=（m-2）²+4，
而（m-2）²≥0，
故△＞0．
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：∵x₁，x₂為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=m+2，x₁x₂=2m-1，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{m+2}{2m-1}$=2m+1，
解得m=-$\frac{3}{4}$或m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．
還考查了根的判別式：①當(dāng)△＞0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根．