Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于D，且BD=8cm．點M從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s；同時直線PQ由點B出發(fā)沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s，運動過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于P，交BC于Q，連接PM，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5）．
（1）當(dāng)四邊形PQCM是平行四邊形時，求t的值；
（2）當(dāng)t為何值時，△PQM是等腰三角形？
（3）以PM為直徑作⊙E，在點P、Q整個運動過程中，是否存在這樣的時刻t，使得⊙E與BC相切？若存在，請求出運動時間t的值；若不存在，請說明理．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)四邊形PQCM是平行四邊形時，PM∥BC，得出AP=AM，列出方程，解方程即可；
（2）分類討論：①若PQ=PM，作PO⊥AC于E，由平行線得出三角形相似，得出比例式，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
②若PQ=QM，作QN⊥AC于N，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
（3）當(dāng)⊙E與BC相切時，切點為K，連接EK，則EK⊥BC；作PG⊥BC于G，AS⊥BC于S，MH⊥BC于H，根據(jù)梯形的中位線得出EK=$\frac{1}{2}$（PG+MH），PM=2EK，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）當(dāng)四邊形PQCM是平行四邊形時，PM∥BC，
則△APM∽△ABC，BP=t，AM=2t，AP=10-2t，
∵AB=AC=10cm，
∴AP=AM，
∴10-t=2t，
解得：t=$\frac{10}{3}$；
即當(dāng)四邊形PQCM是平行四邊形時，t=$\frac{10}{3}$；

（2）∵PQ∥AC，AB=AC，
∴BP=PQ=t；分類討論：
①若PQ=PM，作PO⊥AC于E，如圖1所示：
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴則$\frac{BF}{BD}=\frac{PQ}{AC}$，即$\frac{BF}{8}=\frac{t}{10}$，
∴BF=$\frac{4}{5}$t，
∴DF=8-$\frac{4}{5}$t，
又∵PO⊥AC，BD⊥AC，
∴PO∥BD，AD=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{PO}{BD}$，CD=4，
∴AO=6-$\frac{3}{5}$t，
∴OM=6-$\frac{3}{5}$t-2t=6-$\frac{13}{5}$t，
∵PM²=PO²+OM²，∴${（8-\frac{4}{5}t）^2}+{（6-\frac{13}{5}t）^2}={t^2}$，
整理得：8t²-55t+125=0，
∵b²-4ac＜0，
∴此方程無解；
②若PQ=QM，作QN⊥AC于N，如圖1所示：
則QN∥BD，∴△CNQ∽CDB，
∴$\frac{CN}{CD}=\frac{QN}{BD}$，
∴CN=4-$\frac{2}{5}$t，
∴MN=10-2t-（4-$\frac{2}{5}$t）=6-$\frac{8}{5}$t，
∵QM²=QN²+MN²，
∴${（6-\frac{8}{5}t）^2}+{（8-\frac{4}{5}t）^2}={t^2}$，
解得t=10（舍），t=$\frac{50}{11}$；
③若PM=QM，則M是ON的中點，
∴OM=MN，
∴6-$\frac{8}{5}$t=$\frac{13}{5}$t-6，
解得：t=$\frac{20}{7}$；
∴當(dāng)t=$\frac{50}{11}$或$\frac{20}{7}$時，△PQM是等腰三角形；

（3）假設(shè)存在；
當(dāng)⊙E與BC相切時，切點為K，連接EK，則EK⊥BC；
作PG⊥BC于G，AS⊥BC于S，MH⊥BC于H，則EK∥PG∥AS∥MH，如圖2所示：
∵BC=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴BS=2$\sqrt{5}$，
∴AS=$\sqrt{1{0}^{2}-（2\sqrt{5）^{2}}}$=4$\sqrt{5}$，
∴$\frac{PG}{BP}=\frac{AS}{AB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{10}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴PG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t，
同理：MH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（10-2t），
∵E為PM的中點，
∴K為GH的中點，
∴EK為梯形PGHM的中位線，
∴EK=$\frac{1}{2}$（PG+MH）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（10-t），
∵PM=2EK，
∴${（8-\frac{4}{5}t）^2}+{（6-\frac{13}{5}t）^2}={[{\frac{2}{{\sqrt{5}}}（10-t）}]^2}$
解得t=$\frac{10}{3}$，t=$\frac{10}{11}$；
∴當(dāng)t=$\frac{10}{3}$或$\frac{10}{11}$時，⊙E與BC相切．

點評 本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的解法、梯形中位線定理等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)；特別是（2）（3）中，通過三角形相似得出比例式，再由勾股定理列出方程；根據(jù)題意列出方程是解決問題的關(guān)鍵．