Question

17．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，點D，E在BC上，且∠DAE=45°，若CD=$\sqrt{2}$，則DE=$\frac{17\sqrt{2}}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠2=∠C=45°，再把△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠1=∠C=45°，BF=CD，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∠DAF=90°，接著證明∠EAD=∠EAF，然后根據(jù)“SAS”可判斷△ADE≌△ADF，得到DE=FE；由于∠FBE=∠1+∠2=90°，根據(jù)勾股定理得BE²+BF²=EF²，推出CD²+BE²=DE²，由此即可解決問題．

解答 證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠2=∠C=45°，
把△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，如圖，則∠1=∠C=45°，BF=CD，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∠DAF=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAF=45°，即∠EAF=45°，
∴∠EAD=∠EAF，
在△ADE和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EAD=∠EAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=FE，
∵∠FBE=∠1+∠2=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∴CD²+BE²=DE²，
Rt△ABC中，∵AB=AC=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵CD=$\sqrt{2}$，
∴BD=4$\sqrt{2}$，設(shè)DE=x，則BE=4$\sqrt{2}$-x，
則有x²=（4$\sqrt{2}$-x）²+（$\sqrt{2}$）²，
∴x=$\frac{17\sqrt{2}}{8}$，
∴ED=$\frac{17\sqrt{2}}{8}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)．