Question

13．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象交y軸于點B（0，3），與x軸正半軸交于點A，cos∠BAO=$\frac{4}{5}$
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）OC是△AOB的角平分線，交AB于C，反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象經(jīng)過點C，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由B的坐標得到OB的長，在直角三角形AOB中，根據(jù)sin∠BAO的值及OB的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出OA的長，確定出A坐標，將A與B坐標代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）由OC為∠AOB的平分線，且∠AOB為直角，判斷得到三角形OCD為等腰直角三角形，即CD=OD=a，表示出C坐標，代入一次函數(shù)解析式求出a的值，確定出C坐標，將C坐標代入反比例解析式求出m的值即可．

解答 解：（1）∵B（0，3），
∴OB=3，
∵∠AOB=90°，cos∠BAO=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠BAO=$\frac{3}{5}$
∴AB=5，OA=4，
∴OA=4，即A（4，0），
將A（4，0）和B（0，3）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
則一次函數(shù)解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3；

（2）過C作CD⊥OA，設(shè)OD=a，
∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
∵CD⊥OA，
∴△CDO為等腰直角三角形，
∴CD=OD=a，即C（a，a），
∵C點在直線AB上，
將C坐標代入直線AB得：-$\frac{3}{4}$a+3=a，
解得：a=$\frac{12}{7}$，
∴C（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$），
將C坐標代入反比例解析式得：m=$\frac{144}{49}$．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．