Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=6，點(diǎn)H在邊AB上，且BH=8，連接HC，動點(diǎn)F以每秒2個單位長度的速度，從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BH向點(diǎn)H運(yùn)動，此時(shí)直線FG∥BC交HG于點(diǎn)G，記x秒時(shí)，F(xiàn)G的長度為y
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）向上平移線段FG至DE，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，連接EG，得矩形DEGF，記矩形DEGF的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并計(jì)算當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意得：BF=2x，根據(jù)FG∥BC證得△HFG∽△HBC，列比例式得出y與x的函數(shù)解析式；
（2）先根據(jù)同角的三角函數(shù)值列比例式表示AD的長，根據(jù)矩形的面積=長×寬，列式得S與x的關(guān)系式，求最值即可．

解答 解：（1）由題意得：BF=2x，則FH=8-2x，
∵FG∥BC，
∴△HFG∽△HBC，
∴$\frac{HF}{HB}$=$\frac{FG}{BC}$，
∴$\frac{8-2x}{8}=\frac{y}{6}$，
∴8y=6（8-2x），
y=-$\frac{3}{2}$x+6；
（2）DE=FG=-$\frac{3}{2}x$+6，
tan∠A=$\frac{DE}{AD}=\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{-\frac{3}{2}x+6}{AD}$=$\frac{6}{12}$，
∴AD=-3x+12，
∴DF=AB-AD-BF=12-（-3x+12）-2x=x，
∴S=S_矩形DEGF=FG•DF=x（-$\frac{3}{2}$x+6）=-$\frac{3}{2}$x²+6x=-$\frac{3}{2}$（x²-4x+4-4）=-$\frac{3}{2}$（x-2）²+6，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴S有最大值，
∵0≤x≤4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值為6．

點(diǎn)評 本題是矩形和二次函數(shù)的綜合題，難度不大，主要考查了矩形、二次函數(shù)的性質(zhì)，知道矩形的對邊相等，且四個角為直角，其面積為長×寬，本題還是動點(diǎn)運(yùn)動問題，此類問題要先弄清該動點(diǎn)的運(yùn)動路線、時(shí)間、速度，會表示其路程；并與二次函數(shù)相結(jié)合，利用面積公式將矩形面積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，使問題迎刃而解．