Question

15．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，連結(jié)對角線BD，將△BCD沿BD翻折，使點E與點C對稱，BE交AD于點F．
（1）如圖1，求證：∠ABF=∠EDF；
（2）如圖2，當(dāng)∠CBD=22.5°時，請找出BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到∠ABF+∠FBD=45°，根據(jù)∠FDB+∠FBD+∠FDE=90°，∠FDB=45°，于是得到∠FBD+∠FDE=45°，即可得到結(jié)論；
（2）延長DC到G使CD=CG，連接BG，于是得到∠CBG=∠CBD=22.5°，求得∠GBA=90°，證得四邊形BGDF是梯形，求出∠G=∠FBG，得到四邊形BGDF是等腰梯形，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠A=∠C=90°，AB=AD，
∴∠ABF+∠FBD=45°，
∵∠FDB+∠FBD+∠FDE=90°，∠FDB=45°，
∴∠FBD+∠FDE=45°，
∴∠ABF=∠FDE；

（2）解：延長DC到G使CD=CG，連接BG，
∴∠CBG=∠CBD=22.5°，
∴∠GBA=90°，
∴四邊形BGDF是梯形，∠G=90°-∠CBG=67.5°，∠FBG=∠FBD+∠DBC+∠CBG=67.5°，
∴四邊形BGDF是等腰梯形，
∴BF=DG=2CD．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．