Question

10．如圖，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△DBE，DE的延長(zhǎng)線與AC相交于點(diǎn)F，連接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．
（1）求證：DA∥BC；
（2）猜想線段AD、AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，首先證得△ABD是等邊三角形，得出∠DAB=60°，因?yàn)椤螦BC=60°，根據(jù)平行線的判定即可證得；
（2）證得△ADF≌△BDF，得到∠ADF=∠BDF=30°，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出DF⊥AB，然后根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可證得AD=2AE．

解答 解：（1）∵AB=BD，∠ABD=α=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠ABC=60°，
∴AD∥BC；
（2）AD=2AE．
證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，
在△ADF和△BDF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{AF=BF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BDF（SSS），
∴∠ADF=∠BDF=30°，
∴DF⊥AB，
∴AD=2AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．