Question

16．已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，試判斷△ABC的形狀．
先閱讀下列解題過程：
解：因?yàn)閍²c²-b²c²=a⁴-b⁴，①
所以c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²）．②
所以c²=a²+b²．③
所以△ABC為直角三角形．④
問：（1）上述推理過程中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的兩步是③④；
（2）本題的正確結(jié)論是△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

Answer 1

分析 將等式右邊的移項(xiàng)到方程左邊，然后提取公因式將方程左邊分解因式，根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)數(shù)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等式；根據(jù)等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形或等腰三角形．

解答 解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），
移項(xiàng)得：c²（a²-b²）-（a²+b²）（a²-b²）=0，
因式分解得：（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，
則當(dāng)a²-b²=0時(shí)，a=b；當(dāng)a²-b²≠0時(shí)，a²+b²=c²；
所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
∴（1）上述推理過程中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的兩步是③④；
（2）本題的正確結(jié)論是△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
故答案為：③④，△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．