Question

如圖，△ABC是⊙O的一個內(nèi)接三角形，點C是劣弧AB上一點（點C不與A，B重合），設(shè)∠OAB=α，∠C=β．
（1）當α=35°時，求β的度數(shù)；
（2）猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

考點：圓周角定理

專題：

分析：（1）在優(yōu)弧AB上取一點D，連結(jié)DA、DB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=110°，再根據(jù)圓周角定理得∠D=

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∠AOB=55°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ACB=180°-∠D=125°，
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠AOB=180°-∠α，根據(jù)圓周角定理得∠D=

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2

∠AOB=90°-α，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ACB=180°-∠D=180°-（90°-α）=90°+α．

解答：解：（1）在優(yōu)弧AB上取一點D，連結(jié)DA、DB，如圖，
∵∠α=35°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2×35°=110°，
∴∠D=

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∠AOB=55°，
∴∠ACB=180°-∠D=125°，
即β的度數(shù)為125°；
（2）∠ACB=90°+α．理由如下：
∵∠AOB=180°-2∠α，
∴∠D=

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∠AOB=

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（180°-2∠α）=90°-α，
∴∠ACB=180°-∠D=180°-（90°-α）=90°+α．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．