Question

6．直線MN與PQ相互垂直，垂足為點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OQ上運(yùn)功，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、點(diǎn)B均不與點(diǎn)O重合．
（1）如圖①，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO=40°，求∠AIB的度數(shù)．
（2）如圖②，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延長(zhǎng)線交AI于點(diǎn)D．
①若∠BAO=40°，則∠ADB=45°度（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)理）
②點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若∠BAO=m°，試求∠ADB的度數(shù)．
（3）如圖③，已知點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，∠BAO的角平分線AI、∠OAE的角平分線AF與∠BOP的角平分線所在的直線分別相交于點(diǎn)D、F，在△ADF中，如果有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的4倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ABO的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出∠IBA，∠IAB，根據(jù)∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB），即可解決問(wèn)題．
（2）①根據(jù)∠CBA=∠D+∠BAD，只要求出∠CBA，∠BAD即可．
②結(jié)論：點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠ADB=45°．根據(jù)∠D=∠CBA-∠BAD=$\frac{1}{2}$∠MBA-$\frac{1}{2}$∠BAO=$\frac{1}{2}$（∠MBA-∠BAO）=$\frac{1}{2}$∠AOB計(jì)算即可．
（3）首先證明∠ABO=2∠D，∠DAF=90°，再分四種情形討論即可①當(dāng)∠DAF=4∠D時(shí)，②當(dāng)∠DAF=4∠F時(shí)，③當(dāng)∠F=4∠D時(shí)，④當(dāng)∠D=4∠F時(shí)，分別計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖①中，

∵M(jìn)N⊥PQ，
∴∠AOB=90°，∵∠OAB=40°，
∴∠ABO=90°-∠OAB=50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA=$\frac{1}{2}$ABO=25°，∠IAB=$\frac{1}{2}$∠OAB=20°，
∴∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB）=135°．
（2）如圖②中，

①∵∠MBA=∠AOB+∠BAO=90°+40°=130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA=$\frac{1}{2}$∠MBA=65°，∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAO=20°，
∵∠CBA=∠D+∠BAD，
∴∠D=45°．
②結(jié)論：點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠ADB=45°
理由：∵∠D=∠CBA-∠BAD=$\frac{1}{2}$∠MBA-$\frac{1}{2}$∠BAO=$\frac{1}{2}$（∠MBA-∠BAO）=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠ADB=45°．

（3）如圖③中，

∵∠BAO的角平分線AI、∠OAE的角平分線AF與∠BOP的角平分線所在的直線分別相交于點(diǎn)D、F，
∴∠DAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠FAO=$\frac{1}{2}$∠EAP，
∴∠DAF=$\frac{1}{2}$∠BAO+$\frac{1}{2}∠EAP$=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠D=∠POD-∠DAO=$\frac{1}{2}$∠POB-$\frac{1}{2}$∠BAO=$\frac{1}{2}$（∠POB-∠BAO）=$\frac{1}{2}$∠ABO，
①當(dāng)∠DAF=4∠D時(shí)，∠D=22.5°，
∴∠ABO=2∠D=45°．
②當(dāng)∠DAF=4∠F時(shí)，∠F=22.5°，∠D=67.5°，
∴∠B=2∠D=135°（不合題意舍棄）．
③當(dāng)∠F=4∠D時(shí)，∠D=18°，
∴∠ABO=2∠D=36°．
④當(dāng)∠D=4∠F時(shí)，∠D=72°，
∴∠ABP=2∠D=144°（不合題意舍棄）．
綜上所述，當(dāng)∠ABO=45°或36°時(shí)，在△ADF中，有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的4倍．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的外角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．