Question

如圖1，在⊙O中，直徑AB=6cm，∠BAC=30°，點(diǎn)D為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得BD=2DE，連接BC，AD，AE．

（1）當(dāng)點(diǎn)D為劣弧AC中點(diǎn)時(shí)，求∠DBC的度數(shù)；
（2）當(dāng)AD=2

3

cm時(shí)，判斷直線AE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）求出線段DE掃過(guò)的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）當(dāng)D為弧AC中點(diǎn)時(shí)，可知∠DBC=∠ABD，再結(jié)合條件可求得∠DBC；
（2）在Rt△ABD中可求得BD，在Rt△ADE中可求得AE，由勾股定理的逆定理可判斷出∠BAE=90°，可得結(jié)論；
（3）借助勾股定理可判斷出點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路線為以O(shè)A的中點(diǎn)為圓，

3

2

BA為半徑的圓上，可求出DE掃過(guò)的面積．

解答：解：（1）∵D為劣弧AC的中點(diǎn)，
∴∠ABD=∠DBC=

1

2

∠ABC，
∵AB為直徑，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°；
（2）直線AE與⊙O相切，理由如下：
∵AB為直徑，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
在Rt△ABD中，AB=6，AD=2

3

，由勾股定理可求得BD=2

6

，
∴DE=

6

，在Rt△ADE中，由勾股定理可示得AE=3

2

，
在△ABE中，BE=3

6

，AB=6，AE=3

2

，
∵AB²+AE²=36+18=54=BE²，
∴△ABE為直角三角形，且∠BAE=90°，
∴直線AE與⊙O相切；
（3）如圖，取OA的中點(diǎn)G，過(guò)G作GF⊥BE，交BE于點(diǎn)F，

設(shè)BF=x，OB=r，
則BG=

3

2

r，BA=2r，
∵GF∥AD，
∴

BF

BD

=

BG

BA

，
即

x

BD

=

3 2 r

2r

，解得BD=

4

3

x，
∴DF=BD-BF=

4

3

x-x=

1

3

x，
而DE=

1

2

BD=

2

3

x，
∴DE=x=BF，
∴點(diǎn)E在以G為圓心，

3

2

OA長(zhǎng)為半徑的圓上，且⊙G與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)B，
∴線段DE掃過(guò)的面積為：
S=S_圓G-S_圓O=π（

3

2

OA）²-πOA²=

45

4

π，
即線段DE掃過(guò)的面積為=

45

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角定理、切線的判定及有關(guān)圓的面積的計(jì)算，在圖形中靈活利用圓周角定理比較容易找到角之間的關(guān)系，在第（3）問(wèn)中得出DE掃過(guò)的面積是怎樣的圖形是解題的關(guān)鍵．