Question

7．一次函數(shù)y=kx+2的圖象過點A（2，4），且與x軸相交于點B，若點P是坐標軸上一點，∠APB=90°，則點P的坐標為（2，0），（0，2+2$\sqrt{2}$），（0，2-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件，由于y=kx+2的圖象過點A（2，4），將點A代入一次函數(shù)可得函數(shù)解析式；
該函數(shù)式與x軸交于點B，設B（x，0），再將其代入函數(shù)解析式，求得B點坐標；
P點在坐標軸上有兩種可能，P點在x軸上或P點在y軸上，根據(jù)勾股定理可求出P點坐標．

解答 解：∵一次函數(shù)y=kx+2的圖象過點A（2，4），
∴4=2k+2，
∴k=1，
∴一次函數(shù)解析式為y=x+2，
∵一次函數(shù)y=x+2與x軸交于B，
∴0=x+2，
∴x=-2，
∴B點坐標為（-2，0）；
P在坐標軸上分兩種情況討論：
①若p在x軸上，設點P為（x，0）如圖一
∵∠APB=90°，
∴AP⊥x軸，
∴x=2，
點P坐標為（2，0）；
②若P在y軸上，設P（0，y），如圖二、圖三
∵∠APB=90°，
∴PB²+PA²=AB²，
∵PB²=（-2）²+y² PA²=2²+（y-4）² AB²=4²+4²，
∴（-2）²+y²+2²+（y-4）²=4²+4² 解得：y=2±$2\sqrt{2}$，
∴P點坐標為（0，2+2$\sqrt{2}$），（0，2-2$\sqrt{2}$）．
故答案為（2，0），（0，2+2$\sqrt{2}$），（0，2-2$\sqrt{2}$）

點評 本題考察了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及勾股定理的應用，要分類討論點P在x軸上或P點在y軸上兩種情況，關鍵是要正確運用勾股定理將△APB的三條邊用坐標表示出來后再求解．