Question

9．感知：如圖①，OC平分∠AOB，P是OC上任意一點(diǎn)，PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，由三角形全等的判定方法“AAS”易證△OPM≌△OPN，得到角平分線的一條性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”．
探究：如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（7，0），B（7，24），點(diǎn)D在線段AB上，OD平分∠AOB，求$\frac{AD}{OA}$的值．
應(yīng)用：將圖②中的∠AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠AOB的邊OB落在第一象限的角平分線上，如圖③，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，當(dāng)點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)時(shí)，OP長度的最小值為5$\sqrt{2}$．（可參考提供的網(wǎng)格求值）

Answer 1

分析 （1）探究：如圖②中，作DH⊥OB于H，Rt△ODH≌Rt△ODA，推出OH=OA=7，設(shè)DH=AD=x，在Rt△OAB中，OB=$\sqrt{{7}^{2}+2{4}^{2}}$=25，推出BH=OB-OH=25-7=18，在Rt△BHD中，根據(jù)BH²+DH²=BD²，推出18²+x²=（24-x）²，解方程即可解決問題．
（2）應(yīng)用：如圖③中，作BG⊥x軸于G，OP交BG于K，作KH⊥OB于H．由（1）可知tan∠BOP=tan∠POA=$\frac{3}{4}$=$\frac{HK}{OH}$，設(shè)HK=3m，OH=4m，則HK=BH=3m，BK=3$\sqrt{2}$m，由OB=8$\sqrt{2}$，推出OH+BH=8$\sqrt{2}$，即4m+3m=8$\sqrt{2}$，可得m=$\frac{8\sqrt{2}}{7}$，推出BK=$\frac{48}{7}$，推出KG=8-$\frac{48}{7}$=$\frac{8}{7}$，可得K（8，$\frac{8}{7}$），推出直線OK的解析式為y=$\frac{1}{7}$x，在直線OK尋找整數(shù)點(diǎn)P，即可解決問題．

解答 解：（1）探究：如圖②中，作DH⊥OB于H，

∵OD平分∠AOB，DH⊥OB，DA⊥OA，
∴DH=DA，
在Rt△ODH和Rt△ODA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{DH=DA}\end{array}\right.$，
Rt△ODH≌Rt△ODA，
∴OH=OA=7，設(shè)DH=AD=x，
在Rt△OAB中，OB=$\sqrt{{7}^{2}+2{4}^{2}}$=25，
∴BH=OB-OH=25-7=18，
在Rt△BHD中，∵BH²+DH²=BD²，
∴18²+x²=（24-x）²，
∴x=$\frac{21}{4}$，
∴$\frac{AD}{OA}$=$\frac{\frac{21}{4}}{7}$=$\frac{3}{4}$．

（2）應(yīng)用：如圖③中，作BG⊥x軸于G，OP交BG于K，作KH⊥OB于H．

∵B（8，8），B（8，0），
由（1）可知tan∠BOP=tan∠POA=$\frac{3}{4}$=$\frac{HK}{OH}$，設(shè)HK=3m，OH=4m，則HK=BH=3m，BK=3$\sqrt{2}$m，
∵OB=8$\sqrt{2}$，
∴OH+BH=8$\sqrt{2}$，即4m+3m=8$\sqrt{2}$，
∴m=$\frac{8\sqrt{2}}{7}$，
∴BK=$\frac{48}{7}$，
∴KG=8-$\frac{48}{7}$=$\frac{8}{7}$，
∴K（8，$\frac{8}{7}$），
∴直線OK的解析式為y=$\frac{1}{7}$x，
∵點(diǎn)P在直線OK上，點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，
∴當(dāng)P（7，1）時(shí)，OP長度的值最小，最小值=$\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{50}$=5$\sqrt{2}$．
故答案為5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、角平分線性質(zhì)定理、整數(shù)點(diǎn)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等整數(shù)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，應(yīng)用中求出直線OP的解析式是突破點(diǎn)，屬于中考?jí)狠S題．