Question

14．如圖1，已知：函數(shù)y=-0.5x+b的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與函數(shù)y=x的圖象交于M點，MH⊥x軸于H（2，0），P為x軸上一動點，從H點出發(fā)以每秒2個單位的速度向右運動t秒，過點P作x軸的垂線分別交y=-0.5x+b和y=x的圖象于C、D兩點．
（1）b=3；點A的坐標為（6，0）；
（2）求當t為何值時，CD=5PC；
（3）求當t為何值時，以M、D、A為頂點的三角形為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由題意點M坐標（2，2），代入y=-0.5x+b中，即可解決問題．
（2）分兩種情形討論即可①當0＜t≤2時，CD=2t+2-（-t+2）=3t，CP=-t+2，由CD=5PC，可得方程3t=5（-t+2）．②當t＞2時，CD=2t+2-（-t+2）=3t，CP=t-2，
由CD=5PC，可得方程3t=5（t-2），由此解方程即可解決問題．
（3）分兩種情形討論即可①作AD⊥OM于D，此時△ADM是直角三角形．②作AD′⊥AB交OM于D′，此時△AMD′是直角三角形，分別利用方程組求出交點D或D′的坐標即可解決問題．

解答 解：（1）∵點M在直線y=x上，H（2，0），
∴OH=MH=2，
∴點M坐標（2，2），把M（2，2）代入y=-0.5x+b中，2=-1+b，
∴b=3，
∴直線AB的解析式為y=-0.5x+3，
令y=0，得x=6，
∴點A坐標（6，0）．
故答案為3，（6，0）．

（2）∵P（2t+2，0），
∴C（2t+2，-t+2），D（2t+2，2t+2）
①當0＜t≤2時，CD=2t+2-（-t+2）=3t，CP=-t+2，
∵CD=5PC，
∴3t=5（-t+2），
∴t=$\frac{5}{4}$．
②當t＞2時，CD=2t+2-（-t+2）=3t，CP=t-2，
∵CD=5PC，
∴3t=5（t-2），
∴t=5．
綜上所述，t=$\frac{5}{4}$s或5s時CD=5PC．

（3）如圖，①作AD⊥OM于D，此時△ADM是直角三角形．
∵直線AD的解析式為y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴點D坐標（3，3），
∴HC=1，
∴t=$\frac{1}{2}$．
②作AD′⊥AB交OM于D′，此時△AMD′是直角三角形，
∵直線AD′的解析式為y=2x-12，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=2x-12}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=12}\\{y=12}\end{array}\right.$，
∴D′（12，12），
∴HC′=10，
∴t=5．
綜上所述，t=$\frac{1}{2}$s或5s時，△ADM是直角三角形．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、直角三角形的判定和性質(zhì)、兩直線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記住兩直線垂直k的乘積為-1，屬于中考壓軸題．