Question

12．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+3與坐標軸分別交于A，B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=-x²+bx+c．
（1）求拋物線的解析式
（2）直接寫出該拋物線頂點M的坐標，求出線段MB的長度．
（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得它到線段AB兩端的距離相等，即使得PA=PB，若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B兩點坐標，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）利用配方法求出頂點M的坐標，利用兩點間的距離公式即可解決問題．
（3）求出線段AB的中垂線的解析式，利用方程組求出與拋物線的交點即可．

解答 解：（1）∵直線y=x+3與坐標軸分別交于A，B兩點，
∴A（-3，0），B（0，3），
把A、B兩點坐標代入y=-x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴頂點M（-1，4），∵B（0，3），
∴BM=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．

（3）由題意點P在線段AB的垂直平分線上，
∵直線AB的解析式為y=x+3，AB的中點坐標（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
設線段AB的中垂線的解析式為y=-x+b，則有$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$+b，
∴b=0，
∴線段AB的中垂線的解析式為y=-x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$，
∴滿足條件的點P坐標為（$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、兩點之間的距離公式、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．