Question

6．如圖，點(diǎn)E為x軸正半軸上一點(diǎn)，⊙E交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧$\widehat{BC}$上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A（-1，0），E（1，0）．
（1）如圖1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，連接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AQ的長度是否發(fā)生變化；若不變求出其值，若發(fā)生變化，求出變化的范圍；
（3）如圖3，連接PD，當(dāng)P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B、C兩點(diǎn)重合）$\frac{PC+PD}{PA}$的值是否變化，若不變，求出這個(gè)值；若變化，請(qǐng)說明理由．（注：三角形的三邊比為1：$\sqrt{3}$：2，那么這個(gè)三角形的最小內(nèi)角為30°．）

Answer 1

分析 （1）連接EC，則EC=EA=2，然后利用勾股定理就可求出OC的長，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）不發(fā)生變化，連接CB，利用等弧所對(duì)的圓周角相等可證明AQ=AC，AC是一個(gè)固定值，所以不發(fā)生變化．再利用勾股定理就可求出AC的長即是AQ的長；
（3）$\frac{PC+PD}{PA}$的值不變化．證明的時(shí)候利用三角形的全等來證明．

解答 解：（1）如圖1，連接EC，則EC=EA=2，
∵OE=1，
∴OC=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$，
，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$）；

（2）不發(fā)生變化．
如圖2，連接CB，則∠CPA=∠CBA=∠ACO，
∵∠ACQ=∠ACO+∠OCQ，∠AQC=∠CPA+∠PCQ，
∵CQ平分∠PCD，則∠PCQ=∠OCQ，
則∠ACQ=∠AQC，得AQ=AC=2；

（3）結(jié)論①不變，在PD的延長線上截取DM=PC，則PC+PD=PM，
如圖3，連接AM，
在△PAC和△MAD中
$\left\{\begin{array}{l}{PC=MD}\\{∠PCA=∠ADM}\\{CA=AD}\end{array}\right.$，
∴△PAC≌△MAD（SAS），
∴MA=PA，∠MAP=∠DAC=120°，
則△PAM是以30°為底角的等腰三角形，
∴$\frac{PM}{PA}$=$\frac{PC+PD}{PA}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了圓的知識(shí)，以及全等三角形的判定．所以學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)一定要會(huì)把所學(xué)的知識(shí)靈活的運(yùn)用起來．