Question

1．如圖，MN表示一段筆直的高架道路，線段AB表示高架道路旁的一排居民樓，已知點A到MN的距離為15米，BA的延長線與MN相交于點D，且∠BDN=37°，假設汽車在高速道路上行駛時，周圍39米以內會受到噪音的影響．
（1）過點A作MN的垂線，垂足為點H，如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，當汽車到達點P處時，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時汽車與點H的距離為多少米？
（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板，當汽車行駛到點Q時，它與這一排居民樓的距離QC為39米，那么對于這一排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長？（參考數據：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）

Answer 1

分析 （1）連接PA．在直角△PAH中利用勾股定理來求PH的長度；
（2）由題意知，隔音板的長度是PQ的長度．通過解Rt△ADH、Rt△CDQ分別求得DH、DQ的長度，然后結合圖形得到：PQ=PH+DQ-DH，把相關線段的長度代入求值即可．

解答 解：（1）如圖，連接PA．
由題意知，AP=39m．
在直角△APH中，PH=$\sqrt{A{{P}^{2}-AH}^{2}}$=$\sqrt{3{9}^{2}-1{5}^{2}}$=36（米），
答：此時汽車與點H的距離為36米；

（2）由題意知，隔音板的長度是PQ的長度．
在Rt△ADH中，DH=$\frac{AH}{tan37°}$=20（米）．
在Rt△CDQ中，DQ=$\frac{QC}{sin37°}$=65（米）．
則PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+65-20=81（米）．
答：高架道路旁安裝的隔音板至少需要81米．

點評 本題考查了解直角三角形的應用、勾股定理的應用．根據題目已知特點選用適當銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形，得到數學問題的答案，再轉化得到實際問題的答案．