Question

2．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，連結(jié)AD₁，BC₁，若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x（0＜x＜2），△ACD與△A₁C₁D₁重疊部分的面積為S，則下列結(jié)論：
①△A₁AD₁≌△CC₁B；
②當(dāng)x=1時(shí)，△BDD₁為直角三角形；
③在平移過程中，四邊形ABC₁D₁始終是平行四邊形；
④S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）²（0＜x＜2）；
其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)易得∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，結(jié)論顯然；②由所給條件可證明△AC₁B是等邊三角形，ABC₁D₁自然是菱形；易得△AC₁F∽△ACD，根據(jù)面積比等于相似比平方可得出s與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠DAC=∠ACB，
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，
在△A₁AD₁與△CC₁B中，$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\\{∠{A}_{1}=∠ACB}\\{{A}_{1}{D}_{1}=CB}\end{array}\right.$
∴△A₁AD≌△CC₁B，故①正確．
②∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC₁=1，
∴△AC₁B是等邊三角形，
∴AB=D₁C₁，
又AB∥BC₁，
∴四邊形ABC₁D₁是菱形，
∴BD₁⊥AC₁．
又∵DD₁∥AC₁，
∴BD₁⊥DD₁．
∴△BDD₁為直角三角形，故②正確．
∵四邊形ABC₁D₁是菱形，
∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，故③正確．
如圖所示：

∵C₁D₁∥CD，
∴△AC₁F∽△ACD，
∴$\frac{{S}_{△A{C}_{1}F}}{{S}_{△ACD}}$=（$\frac{2-x}{2}$）²，
∴S=$\frac{1}{2}$DC•AD•（$\frac{2-x}{2}$）²=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$•（$\frac{2-x}{2}$）²=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（2-x）²．故④錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、平移變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．清楚矩形、菱形等基本幾何圖形的性質(zhì)以及平移變換的特征是解決本題的關(guān)鍵．