Question

17．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線FH分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，且EF⊥BD，連接BE、DF．
（1）求證：四邊形BEDF是菱形；
（2）若AC⊥AB，AB=3，BC=5，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，OB=OD，OA=OC，AD=BC，由ASA證明△ODE≌△OBF，得出DE=BF，證出四邊形BEDF是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理求出AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，得出OA=$\frac{1}{2}$AC=2，證明△ABO∽△AOH，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出AH=$\frac{4}{3}$，求出BH=AB+AH=$\frac{13}{3}$，再證明△AEH∽△BFH，得出$\frac{AE}{BF}=\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{13}$，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OB=OD，OA=OC，AD=BC，
∴∠ODE=∠OBF，
在△ODE和△OBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ODE=∠OBF}&{\;}\\{OD=OB}&{\;}\\{∠DOE=∠BOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OBF（ASA），
∴DE=BF，
又∵AD∥BC，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
又∵EF⊥BD，
∴四邊形BEDF是菱形；
（2）解：∵DE=BF，AD=BC，
∴AE=CF，
∵AC⊥AB，AB=3，BC=5，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=2，
∵AC⊥AB，EF⊥BD，
∴∠BAO=∠HAO=90°，∠ABO+∠AOB=90°，∠AOH+∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠AOH，
∴△ABO∽△AOH，
∴$\frac{OA}{AH}=\frac{AB}{OA}$，即$\frac{2}{AH}=\frac{3}{2}$，
解得：AH=$\frac{4}{3}$，
∴BH=AB+AH=$\frac{13}{3}$，
∵AD∥BC，
∴△AEH∽△BFH，
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{13}$，
即$\frac{AE}{5-AE}=\frac{4}{13}$，
解得：AE=$\frac{20}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．