Question

11．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＜0；③b²-4ac=0；④8a+c＜0；⑤a：b：c=-1：2：3，其中正確的結(jié)論有①④⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)圖象的開(kāi)口可確定a，結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸可確定b，根據(jù)圖象與y軸的交點(diǎn)位置可確定c，根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可確定△；根據(jù)當(dāng)x=-2時(shí)，y＜0；拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵開(kāi)口向下
∴a＜0
∵與y軸交于正半軸
∴c＞0
∵對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)
∴b＞0
∴abc＜0，故①正確；
∵二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，即二次函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-$\frac{2a}$=1，
∴2a+b=0，故②錯(cuò)誤；
∵拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，故③錯(cuò)誤；
∵b=-2a，
∴可將拋物線(xiàn)的解析式化為：y=ax²-2ax+c（a≠0）；
由函數(shù)的圖象知：當(dāng)x=-2時(shí)，y＜0；即4a-（-4a）+c=8a+c＜0，故④正確；
∵二次函數(shù)的圖象和x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（-1，0），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，
∴另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），
∴設(shè)y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1）=ax²-2ax-3a，
即a=a，b=-2a，c=-3a，
∴a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：2：3，故⑤正確；
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱(chēng)軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．