Question

2．如圖，四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．
（1）如果∠B+∠C=120°，則∠AED的度數(shù)=60°．（直接寫出結(jié)果）
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，猜想∠B+∠C與∠AED之間的關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠BAD+∠CDA，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EAD+∠EDA，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定義360°表示出∠BAD+∠CDA，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EAD+∠EDA，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得解．

解答 解：（1）在四邊形ABCD中，∵∠B+∠C=120°，
∴∠BAD+∠CDA=360°-120°=240°，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠EDA=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠EAD+∠EDA=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠CDA）=$\frac{1}{2}$×240°=120°，
在△AED中，∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA），
=180°-120°，
=60°；
故答案為：60°．

（2）∠AED=$\frac{1}{2}$（∠B+∠C）．
理由如下：在四邊形ABCD中，
∵∠BAD+∠CDA+∠B+∠C=360°，
∴∠BAD+∠CDA=360°-（∠B+∠C），
又∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠EDA=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠EAD+∠EDA=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$[360°-（∠B+∠C）]，
在△AED中，又∵∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA），
=180°-$\frac{1}{2}$[360°-（∠B+∠C）]，
=$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），
故∠AED=$\frac{1}{2}$（∠B+∠C）．

點(diǎn)評 本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．