Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（6，6），（6，0），拋物線y=-（x-m）²+n的頂點(diǎn)P在折線OA-AB上運(yùn)動．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動時(shí)，拋物線y=-（x-m）²+n與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．
①用含m的代數(shù)式表示n，
②求c的取值范圍．
（2）當(dāng)拋物線y=-（x-m）²+n經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①設(shè)直線OA的解析式為y=kx，把點(diǎn)（6，6）代入可得k=1，推出y=x．因?yàn)閥=-（x-m）²+n的頂點(diǎn)P在OA上，推出n=m．②由題意：y=-x²+2mx-m²+m，由拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），推出c=-m²+m，根據(jù)0≤m≤6，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
（2）把B（6，0）代入拋物線的解析式即可解決問題．
（3）分三種情形①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，
②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)P（6，6）．
③當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，拋物線與OA只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)．

解答 解：（1）①設(shè)直線OA的解析式為y=kx，∵經(jīng)過（6，6），
∴6k=6，
∴k=1，
∴y=x．
∵y=-（x-m）²+n的頂點(diǎn)P在OA上，
∴n=m．

②由題意：y=-x²+2mx-m²+m，
∵拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），
∴c=-m²+m，
∵點(diǎn)P在線段OA上，
∴0≤m≤6，-$\frac{2a}$=-$\frac{1}{2×（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜$\frac{1}{2}$＜6，
∴當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，c=-（$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)m=6時(shí)，c=-6²+6=-30，
∴c的取值范圍為-30≤c≤$\frac{1}{4}$．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，
∵拋物線經(jīng)過B（6，0），
∴-（6-m）²+m=0，
∴m=4或9（舍棄），
∴y=-（x-4）²+4，
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，
∴m=6，
∴y=-（x-6）²．

（3）①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，
把（0，0）代入拋物線y=-（x-m）²+m得到m=1或0（舍棄），此時(shí)P（1，1）．
②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)P（6，6）．
③當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，拋物線與OA只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-（x-6）^{2}+n}\end{array}\right.$消去y得到x²-11x+36-n=0，
由題意△=0，∴121-4（36-n）=0，
∴n=$\frac{23}{4}$，
∴P（6，$\frac{23}{4}$），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1）或（6，6）或（6，$\frac{23}{4}$）

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．