Question

已知矩形ABCD中，點(diǎn)M是CD上一點(diǎn)，連接AM，作ME⊥AM交射線CB于點(diǎn)E．
①如圖1，當(dāng)CM=BC時，求證AM=ME；
②如圖2，若MC：BC=4：3，求sin∠AEM；
③如圖3，若AB=5，AD=2，點(diǎn)N是AE的中點(diǎn)，當(dāng)CM=

 

時，線段MN有最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)CM=BC證得△ADM≌△MCE后即可證得AM=ME；
（2）證得△ADM∽△MCE后即可得到EN：AM=MC：AD=4：3，然后根據(jù)∠AME=90°，得到EM：AM：AE=4：3：5，從而求得sin∠AEM的值；
（3）根據(jù)MN是直角三角形AME的斜邊上的中線可以得MN=

1

2

AE，從而得到當(dāng)AE最小時，MN最小，然后利用相似三角形列出比例式求得CM的值即可．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵BC=CM，
∴CM=AD，
∵∠AME=90°，
∴∠AMD+∠CME=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠CME=∠DAM，
在△ADM與△MCE中，

∠CME=∠DAM AD=CM ∠D=∠C

，
∴△ADM≌△MCE（ASA），
∴AM=EM；

（2）解：在矩形ABCD中AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵M(jìn)C：BC=4：3，
∴MC：AD=4：3，
∵∠AME=90°，
∴∠AMD+∠CME=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠CME=∠DAM，
∴△ADM∽△MCE，
∴EM：AM=MC：AD=4：3，
∵∠AME=90°，
∴EM：AM：AE=4：3：5，
∴sin∠AEM=

3

5

；

（3）解：∵∠AME=90°，N為AE的中點(diǎn)，
∴NM=

1

2

AE，
∴當(dāng)AE最小時，MN最小，
∴當(dāng)AE與AB重合時，AE最小，
∵∠D=∠C，∠AMD=∠MEC，
∴△ADM∽△MCE，
設(shè)MC=x，
∵AB=5，AD=2，
∴DM=5-x，
∴

2

x

=

5-x

2

解得x=1或4，
故答案為：1或4．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)、相似及全等的判定與性質(zhì)，考查的知識點(diǎn)比較多，難度較大．